Dalam
aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah
algoritma
versi dari eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi Gauss-Jordan kita
membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu
matriks.
Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan
(Semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya
nol).
Metode eliminasi Gauss-Jordan kurang efisien untuk menyelesaikan
sebuah SPL, tetapi lebih efisien daripada eliminasi Gauss jika kita
ingin menyelesaikan SPL dengan matriks koefisien sama.
Motede tersebut dinamai Eliminasi Gauss-Jordan untuk menghormati
Carl Friedrich Gauss dan
Wilhelm Jordan.
Aplikasi untuk mencari Invers
Jika eliminasi Gauss-Jordan diterapkan dalam matriks persegi, metode
tersebut dapat digunakan untuk menghitung invers dari matriks. Eliminasi
Gauss-Jordan hanya dapat dilakukan dengan menambahkan dengan matriks
identitas dengan dimensi yang sama, dan melalui operasi-operasi matriks:
![[ A I ] \Longrightarrow
A^{-1} [ A I ] \Longrightarrow
[ I A^{-1} ]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_skm9355T_Yfb2082ot48ECr_goxYlAfzBpT_SulLrOX2knV8zlfJLh8H7A0sYXAvw_-bIIh3rVQOY55kgeVeg3ejgxs1JebzJOv-VeY-3A7eP4xJODhZHZoZL3it_jibSUeqDheDSu5-m6qwk9vg=s0-d)
Jika A contoh matriks persegi yang diberikan:

Kemudian, setelah ditambahkan dengan matriks identitas:
![[ A I ] =
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
-1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\\
0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_syyOXB1kLAq3o2Ui66H75JHvvZXY5G-3KBr0TbBiivyQ6ognwGsWbmZLIoIwI39zyJznwzP3x9ivDRt0oaIM_Vlrke6eQuG8kOCPZkGVOvEGDSUunW7CIuMqXN36wYQhXWmJeabRdjYZcCEcYLcQ=s0-d)
Eliminasi Gauss-Jordan pada
![[ A I ]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vPp6IRo4Nz0SdO2bcUzbmHL6hGqq5BwAJRiXFCLR2B3cD5uZK232ef_VOPyOH1O4Ar6vN-LU4iaExpIQDc7C4y72E9zXuXDV31YrIAcqduf5NEz4LQhPwdqslT45oyQQDLvhas_tXRhmJlBOmTBw=s0-d)
menghasilkan bentuk yang tereduksi:
![[ I A^{-1} ] =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\\
0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2}\\
0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4}
\end{bmatrix}.](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uEkpWhYR9BaDFpH1AzlUp8PEUYDkPzPyI1WKm4FVYi9ikCjnPRlytfpyW5TKxd8SHQtD2hizrKO60eag9qdTP-uH7J8fyDQnkSr3iA3vya9quXJ_ZFUPuZmMGXxyEK3a9XUKSprOAiyjQTfef_BA=s0-d)
Dengan melakukan operasi baris dasar pada matriks
![[ A I ]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vPp6IRo4Nz0SdO2bcUzbmHL6hGqq5BwAJRiXFCLR2B3cD5uZK232ef_VOPyOH1O4Ar6vN-LU4iaExpIQDc7C4y72E9zXuXDV31YrIAcqduf5NEz4LQhPwdqslT45oyQQDLvhas_tXRhmJlBOmTBw=s0-d)
sampai A menjadi matriks identitas, maka didapatkan hasil akhir:

Tidak ada komentar:
Posting Komentar