Dalam
aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah
algoritma
versi dari eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi Gauss-Jordan kita
membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu
matriks.
Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan
(Semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya
nol).
Metode eliminasi Gauss-Jordan kurang efisien untuk menyelesaikan
sebuah SPL, tetapi lebih efisien daripada eliminasi Gauss jika kita
ingin menyelesaikan SPL dengan matriks koefisien sama.
Motede tersebut dinamai Eliminasi Gauss-Jordan untuk menghormati
Carl Friedrich Gauss dan
Wilhelm Jordan.
Aplikasi untuk mencari Invers
Jika eliminasi Gauss-Jordan diterapkan dalam matriks persegi, metode
tersebut dapat digunakan untuk menghitung invers dari matriks. Eliminasi
Gauss-Jordan hanya dapat dilakukan dengan menambahkan dengan matriks
identitas dengan dimensi yang sama, dan melalui operasi-operasi matriks:
![[ A I ] \Longrightarrow
A^{-1} [ A I ] \Longrightarrow
[ I A^{-1} ]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s7-nMJnwOoxF9pufyWI2CldhmY-4iojjTM3Dt5BciBncGqhM14TUkJZuIf1sb9RCZ1B-QW19_6s2hqAqk_5Q5s34dn-nI-zAdg9cw34cNBxc6D-4KDMtLJSISZckMqKYtkOvv2SSubCRi51RiUrw=s0-d)
Jika A contoh matriks persegi yang diberikan:

Kemudian, setelah ditambahkan dengan matriks identitas:
![[ A I ] =
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
-1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\\
0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t7quKsKrzbuXU7_biS6pGr90_QPiAYaT1m3qKPLnQzGFJ8DUDcRn53V0uwUZdRWZkvt7wIBo688sB4li2Up8STm5uh8fAOIiX51S_zfzTNu2j8isZrwmzhH6bgueqTjUTSxtENimuWxl13Gk7hfA=s0-d)
Eliminasi Gauss-Jordan pada
![[ A I ]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vu9ZqLCRANtm7qlM5VlkF7H4KyFb6xF-kiNFEubgMckoG-ZfnGHxCoL56FYa0xHWM_qmq63R1RlhgbxUmlAFkyBwZJvZlgKPhK7_zPDCV-X2vbhSs1eB49ZSA3g8fnpUUYCysfp9z0uQ2P9W96QA=s0-d)
menghasilkan bentuk yang tereduksi:
![[ I A^{-1} ] =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\\
0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2}\\
0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4}
\end{bmatrix}.](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vLK3L54a2qx9DSbDESpHeItCXpf-lReO-u6ox7k6ulmMd_93PgU70Axe2noNUyVqhpASaNSELryYXxP9wE_K2pHHOlFn-qdxmMiYu3xb-lyyGLd8H6JXkRzMDZnqpSjdAVCc860CYLcD_blCW8Gw=s0-d)
Dengan melakukan operasi baris dasar pada matriks
![[ A I ]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vu9ZqLCRANtm7qlM5VlkF7H4KyFb6xF-kiNFEubgMckoG-ZfnGHxCoL56FYa0xHWM_qmq63R1RlhgbxUmlAFkyBwZJvZlgKPhK7_zPDCV-X2vbhSs1eB49ZSA3g8fnpUUYCysfp9z0uQ2P9W96QA=s0-d)
sampai A menjadi matriks identitas, maka didapatkan hasil akhir:

Tidak ada komentar:
Posting Komentar