Dalam
aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah
algoritma
versi dari eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi Gauss-Jordan kita
membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu
matriks.
Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan
(Semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya
nol).
Metode eliminasi Gauss-Jordan kurang efisien untuk menyelesaikan
sebuah SPL, tetapi lebih efisien daripada eliminasi Gauss jika kita
ingin menyelesaikan SPL dengan matriks koefisien sama.
Motede tersebut dinamai Eliminasi Gauss-Jordan untuk menghormati
Carl Friedrich Gauss dan
Wilhelm Jordan.
Aplikasi untuk mencari Invers
Jika eliminasi Gauss-Jordan diterapkan dalam matriks persegi, metode
tersebut dapat digunakan untuk menghitung invers dari matriks. Eliminasi
Gauss-Jordan hanya dapat dilakukan dengan menambahkan dengan matriks
identitas dengan dimensi yang sama, dan melalui operasi-operasi matriks:
![[ A I ] \Longrightarrow
A^{-1} [ A I ] \Longrightarrow
[ I A^{-1} ]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_utGX4VAzO9rIavStpqYsWNIyfkSFko5IpjUgA0Rtbxs5KvyzNCS9et2OVv7SNz-qT16Z1AlZbnwyc40wDj4fbLH0cugRC-TiLIieQJmCzv3R5t1N4W9gJnacWcUuJjP7sv0g_I3KeFB9GzkWBFDA=s0-d)
Jika A contoh matriks persegi yang diberikan:

Kemudian, setelah ditambahkan dengan matriks identitas:
![[ A I ] =
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
-1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\\
0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vCE5SvbQ8GY8IeFjGLGpdrkU_eV4YdTwb8FHMFoQK_pljSY3N3q1ejijZy2yta00IeSCky4OV88jKR_GRCQFftkxnJVLUFMlmEhYkbm_sRCW7JHa640Cx8o30YvPVKHoPWcy_M3LUUMx828X2Hrg=s0-d)
Eliminasi Gauss-Jordan pada
![[ A I ]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tbXA5LB8nTKTHJhSk7iGRJxvOWDjBBZEU57j7gEPK0RwH_aUuVme6MNsWB40sDlTBuOqMYzg9syAXKYhd5ehQc1LD8g3ZW4VIGvk4k9cEqN2ITElYNDE6Lbd_i0Rqu4HGC5MdpA6tdey5dZ82QpA=s0-d)
menghasilkan bentuk yang tereduksi:
![[ I A^{-1} ] =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\\
0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2}\\
0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4}
\end{bmatrix}.](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vLyQTDpBpIGaP-0TXMzoR3KbjLo-jD9SmUJKN2ZEI8HN_ChBRqiPF8_9qQu1spu_ewJc60IZuJvUYE_fKyM2xHMUhMepk9FJkW8UckD0l9SAkOUTATOjizdWjWQAjx7Ur3tryfzSzbVUv7MkBfgQ=s0-d)
Dengan melakukan operasi baris dasar pada matriks
![[ A I ]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tbXA5LB8nTKTHJhSk7iGRJxvOWDjBBZEU57j7gEPK0RwH_aUuVme6MNsWB40sDlTBuOqMYzg9syAXKYhd5ehQc1LD8g3ZW4VIGvk4k9cEqN2ITElYNDE6Lbd_i0Rqu4HGC5MdpA6tdey5dZ82QpA=s0-d)
sampai A menjadi matriks identitas, maka didapatkan hasil akhir:

Tidak ada komentar:
Posting Komentar